Sinüs ve kosinüs teoremlerini doğrulayabilme veya ispatlayabilme

GEOMETRİK ŞEKİLLER · Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

1.KolayKosinüs teoremini uygulama10 puan

$ABC$ üçgeninde $|AC| = b = 5$ cm, $|AB| = c = 8$ cm ve $m(\widehat{A}) = 60^\circ$ 'dir (şekil). Kosinüs teoremine göre $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ 'dır ( $a = |BC|$ ).

Şekil: b = 5 cm, c = 8 cm ve m(A) = 60° olan ABC üçgeni

1.a

$|BC| = a$ uzunluğunu bulunuz.

6 p

1.b

$A$ açısı $90^\circ$ olduğunda kosinüs teoreminin Pisagor bağıntısına dönüştüğünü gösteriniz ( $\cos 90^\circ = 0$ ).

4 p

2.OrtaSinüs teoreminin ispatı ve uygulaması15 puan

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $C$ köşesinden $[AB]$ kenarına çizilen yüksekliğin ayağı $H$ ve $|CH| = h$ 'dir. Kenar uzunlukları $|BC| = a$ , $|AC| = b$ , $|AB| = c$ ile gösterilmektedir (şekil).

Şekil: Dar açılı ABC üçgeninde C köşesinden çizilen [CH] yüksekliği

2.a

$ACH$ ve $BCH$ dik üçgenlerini kullanarak $h$ uzunluğunu iki farklı biçimde yazınız ve $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ olduğunu gösteriniz.

6 p

2.b

Başka bir üçgende $m(\widehat{A}) = 30^\circ$ , $m(\widehat{B}) = 45^\circ$ ve $|BC| = 4$ cm'dir. Sinüs teoremini kullanarak $|AC|$ uzunluğunu bulunuz.

5 p

2.c

Kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan dik üçgende her kenarın, karşısındaki açının sinüsüne oranını hesaplayarak sinüs teoremini doğrulayınız ( $\sin 90^\circ = 1$ ).

4 p

3.ZorKosinüs teoreminin ispatı ve uygulaması19 puan

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $C$ köşesinden $[AB]$ kenarına çizilen yüksekliğin ayağı $H$ 'dir ( $H$ , $[AB]$ üzerindedir). $|BC| = a$ , $|AC| = b$ , $|AB| = c$ , $|CH| = h$ ve $|AH| = x$ olarak gösterilmektedir (Şekil 1).

Şekil 1: Dar açılı ABC üçgeninde [CH] yüksekliği ve |AH| = x

Şekil 2: Limandan ayrılan iki teknenin rotaları (b maddesi)

3.a

Pisagor bağıntısını $ACH$ ve $BCH$ dik üçgenlerinde kullanarak $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ olduğunu ispatlayınız.

8 p

3.b

Bir limandan aynı anda ayrılan iki tekneden biri 6 km, diğeri 10 km yol almıştır. Teknelerin doğrusal rotaları arasındaki açı $120^\circ$ 'dir (Şekil 2). İki tekne arasındaki uzaklığı bulunuz ( $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$ ).

5 p

3.c

Kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 8 cm olan bir üçgende 7 cm'lik kenarın karşısındaki açının ölçüsünü bulunuz.

6 p

Puanlar sorunun kendi içindeki dağılımıdır; senaryo kâğıdında tüm sorular birlikte 100 puana ölçeklenir.

Bu konunun geçtiği senaryo kâğıtları

Senaryo 1: 1 soru Senaryo 2: 1 soru Senaryo 3: 1 soru Senaryo 4: 2 soru Senaryo 5: 1 soru