Ana sayfa / Matematik / 11. sınıf / Konu

11. sınıf Matematik · 1. dönem 1. yazılı · MAT.11.2.1

Üçgenlerde açı, benzerlik ve alan özelliklerinden yola çıkarak dörtgenlerin açı, kenar, köşegen, simetri ve alan özelliklerine ilişkin muhakeme yapabilme

GEOMETRİK ŞEKİLLER · Dörtgenlerin Özellikleri

1.KolayDörtgende açı, alan ve simetri11 puan

Matematik kulübündeki öğrenciler dışbükey dörtgenlerle ilgili üç görev üzerinde çalışmaktadır:

Bir $ABCD$ dörtgeninde $m(\widehat{A}) = 95^\circ$ , $m(\widehat{B}) = 80^\circ$ ve $m(\widehat{C}) = 110^\circ$ 'dir (Şekil 1).
Bir dörtgenin köşegen uzunlukları 10 cm ve 8 cm, köşegenler arasındaki açının ölçüsü $30^\circ$ 'dir (Şekil 2).
İncelenecek dörtgenler: kare, kare olmayan dikdörtgen, kare olmayan eşkenar dörtgen ve dikdörtgen ya da eşkenar dörtgen olmayan paralelkenar.

Şekil 1: Birinci görevdeki ABCD dörtgeni ve [AC] köşegeni

Şekil 2: Köşegenleri 10 cm ve 8 cm, aralarındaki açı 30° olan dörtgen

1.a

Birinci görevdeki dörtgenin iç açıları toplamını bir köşegen yardımıyla gerekçelendirerek $D$ açısının ölçüsünü bulunuz. İkinci görevdeki dörtgenin alanını bulunuz.

7 p

1.b

Üçüncü görevdeki dörtgenlerin her birinin kaç simetri ekseni olduğunu yazınız.

4 p

2.KolayParalelkenarda açı ve köşegen10 puan

Bir duvar panosu $ABCD$ paralelkenarı biçimindedir. $m(\widehat{A}) = 70^\circ$ , $|AB| = 9$ dm ve $|AC| = 12$ dm'dir. Panonun köşegenleri $O$ noktasında kesişmektedir (şekil).

Şekil: ABCD paralelkenarı biçimindeki pano ve köşegenleri

2.a

Panonun $B$ , $C$ ve $D$ açılarının ölçülerini gerekçesiyle bulunuz.

6 p

2.b

$|CD|$ ve $|AO|$ uzunluklarını gerekçesiyle bulunuz.

4 p

3.OrtaYamukta köşegenler ve alanlar12 puan

$ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ , $|AB| = 12$ cm ve $|DC| = 6$ cm'dir. Yamuğun $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenleri $E$ noktasında kesişmektedir. $DEC$ üçgeninin alanı 8 cm²'dir (şekil).

Şekil: ABCD yamuğu, köşegenleri ve alanı 8 cm² olan DEC üçgeni

3.a

$ABE$ ve $CDE$ üçgenlerinin benzer olduğunu gösteriniz ve $\dfrac{|AE|}{|EC|}$ oranını bulunuz.

5 p

3.b

$ABE$ , $AED$ ve $BEC$ üçgenlerinin alanlarını ve yamuğun alanını bulunuz.

7 p

4.OrtaDeltoid biçimli uçurtma12 puan

Komşu kenar çiftleri eşit uzunlukta olan dışbükey dörtgene deltoid denir. Bir uçurtma $ABCD$ deltoidi biçimindedir: $|AB| = |AD| = 13$ cm, $|CB| = |CD| = 20$ cm ve $[BD]$ köşegeninin uzunluğu 24 cm'dir. Köşegenler $O$ noktasında kesişmektedir (şekil).

Şekil: ABCD deltoidi biçimindeki uçurtma

4.a

$ABC$ ve $ADC$ üçgenlerinin eş olduğunu göstererek $[AC]$ köşegeninin deltoidin simetri ekseni olduğunu açıklayınız. Buna dayanarak $[AC]$ 'nin $[BD]$ 'ye dik olduğunu ve $[BD]$ 'yi ortaladığını gerekçelendiriniz.

5 p

4.b

$[AC]$ köşegeninin uzunluğunu ve uçurtmanın alanını bulunuz.

7 p

5.ZorEşkenar dörtgen biçimli tarh15 puan

Bir peyzaj mimarı eşkenar dörtgen biçiminde bir çiçek tarhı tasarlamaktadır. $ABCD$ eşkenar dörtgeninin köşegen uzunlukları $|AC| = 16$ m ve $|BD| = 12$ m'dir; köşegenler $O$ noktasında kesişmektedir (şekil).

Şekil: ABCD eşkenar dörtgeni biçimindeki tarh ve köşegenleri

5.a

Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin birbirini dik ortaladığını üçgenlerin eşliği yardımıyla gerekçelendiriniz ve tarhın bir kenarının uzunluğunu bulunuz.

5 p

5.b

Tarhın alanını köşegenler yardımıyla bulunuz. Ardından bir kenara ait yüksekliğini hesaplayınız.

4 p

5.c

Mimar, "Her paralelkenarın köşegenleri, paralelkenarın alanını dört eş parçaya ayırır." önermesini kullanarak tarhı dört farklı renkte, eşit alanlı bölümlere ayırmayı düşünmektedir. Bu önermeyi herhangi bir $ABCD$ paralelkenarı için ispatlayınız ve tarhta her bir bölümün alanını yazınız.

6 p

6.ZorKöşegenleri dik dik yamuk16 puan

$ABCD$ dik yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ , $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 90^\circ$ , $|AB| = 9$ cm ve $|DC| = 4$ cm'dir. Yamuğun $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenleri $E$ noktasında dik kesişmektedir (şekil).

Şekil: Köşegenleri E noktasında dik kesişen ABCD dik yamuğu

6.a

$ABD$ ve $DAC$ dik üçgenlerinin benzer olduğunu gösteriniz. Bu benzerlikten $|AD|^2 = |AB| \cdot |DC|$ bağıntısını elde ederek yamuğun yüksekliğini bulunuz.

7 p

6.b

Yamuğun alanını önce yamuk alan bağıntısıyla, sonra köşegen uzunluklarını bularak köşegenlere bağlı alan bağıntısıyla hesaplayınız ve iki sonucu karşılaştırınız.

6 p

6.c

Bir öğrenci, "Köşegenleri dik kesişen her dışbükey dörtgen eşkenar dörtgendir." demiştir. Bu soruda incelediğiniz yamuğu kullanarak önermeyi değerlendiriniz.

3 p

Puanlar sorunun kendi içindeki dağılımıdır; senaryo yazılısında tüm sorular birlikte 100 puana ölçeklenir.

Bu konunun geçtiği senaryo yazılıları

Senaryo 1: 3 soru Senaryo 2: 4 soru Senaryo 3: 3 soru Senaryo 4: 4 soru Senaryo 5: 3 soru