Üstel ve logaritmik fonksiyonları gerçek hayat durumlarını modellemede kullanır.

SAYILAR VE CEBİR · Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

1.KolayRadyoaktif madde ve yarı ömür10 puan

Radyoaktif bir maddenin yarı ömrü 5 yıldır; yani maddenin kütlesi her 5 yılda bir yarıya iner. Başlangıçta 80 gram olan bu maddenin $t$ yıl sonraki kütlesi

$m(t) = 80 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5}}$ gram

ile modellenmektedir.

1.a

15 yıl sonra kaç gram madde kalacağını bulunuz.

4 p

1.b

Kaç yıl sonra 5 gram madde kalacağını bir üstel denklem kurarak bulunuz.

6 p

2.OrtaSes şiddeti düzeyi12 puan

Bir sesin şiddet düzeyi $L$ (desibel, dB), $I$ sesin şiddeti ve $I_0$ insan kulağının duyabileceği en düşük ses şiddeti olmak üzere

$L = 10 \cdot \log \left(\dfrac{I}{I_0}\right)$

bağıntısıyla hesaplanır. Hesaplamalarda $\log 2 \approx 0{,}30$ alınacaktır.

2.a

Şiddeti $I = 10^6 \cdot I_0$ olan bir sesin şiddet düzeyini bulunuz.

3 p

2.b

Yoğun bir trafikte ölçülen sesin şiddet düzeyi 80 dB, sakin bir ofiste ölçülen sesin şiddet düzeyi ise 50 dB'dir. Trafikteki sesin şiddeti, ofisteki sesin şiddetinin kaç katıdır?

5 p

2.c

Bir sesin şiddeti 2 katına çıkarılırsa şiddet düzeyi yaklaşık kaç dB artar?

4 p

3.ZorBakteri büyümesinin modellenmesi14 puan

Bir bakteri kültüründe $t$ saat sonraki bakteri sayısı, $k$ bir sabit olmak üzere

$N(t) = 200 \cdot e^{kt}$

fonksiyonu ile modellenmektedir. Başlangıçtan 3 saat sonra kültürde 1600 bakteri sayılmıştır.

3.a

$k$ sabitini $\ln$ cinsinden bulunuz ve modelin $N(t) = 200 \cdot 2^t$ biçiminde yazılabileceğini gösteriniz.

5 p

3.b

Kaç saat sonra bakteri sayısının 25 600 olacağını bulunuz.

4 p

3.c

Bakteri sayısı kaçıncı saatin sonunda ilk kez 10 000'i aşar? Logaritma kullanarak gerekçelendiriniz ( $\log 2 \approx 0{,}30$ ).

5 p

Puanlar sorunun kendi içindeki dağılımıdır; senaryo yazılısında tüm sorular birlikte 100 puana ölçeklenir.

Bu konunun geçtiği senaryo yazılıları

Senaryo 1: 1 soru Senaryo 2: 1 soru Senaryo 3: 1 soru Senaryo 5: 1 soru Senaryo 6: 1 soru Senaryo 8: 1 soru